Question

如图，在△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D、E分别是△ABC内的点，且EA=EB，BD=AC，BE平分∠DBC．
（1）求证：△DBE≌△CBE；
（2）求证：∠BDE=45°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）如图，证明BC=BD，此为解题的关键性结论；证明∠DBE=∠CBE，借助SAS公理即可解决问题．
（2）证明△ACE≌△BCE，得到∠BCE=∠ACE，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，∠ACB=90°．
∵BD=AC，
∴BC=BD．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE．
在△CBE与△DBE中，

BC=BD ∠CBE=∠DBE BE=BE

，
∴△DBE≌△CBE（SAS）．
（2）解：∵△DBE≌△CBE，
∴∠BDE=∠BCE．
在△CBE与△CAE中，

BC=AC CE=CE BE=AE

，
∴△ACE≌△BCE（SSS）．
∴∠BCE=∠ACE．
∵∠BCE+∠ACE=90°
∴∠BCE=∠ACE=45°．
∴∠BDE=∠BCE=45°．

点评：该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握性质定理或判定定理，是灵活解题的基础和关键．