Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF，则下列结论，

①BF=AC；

②∠FCD=45°；

③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；

④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=﹣1．其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

想办法证明△ADC≌△BDF即可一一判断.

∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，

∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴BF=AC，故①正确，

∴FD=CD，

∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确；

若BF=2EC，根据①得BF=AC，

∴AC=2EC，

即E为AC的中点，

∴BE为线段AC的垂直平分线，

∴AF=CF，BA=BC，

∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，

即△FDC周长等于AB的长，故③正确．

∵∠FBD=30°，BF=2，

∴DF=1，BD=AD=，

∴AF=﹣1，故④正确，

故选：D．