Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，CG是⊙O的切线，交BA的延长线于点G，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，CG∥AE．
（1）求证：C是劣弧

AE

的中点．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=4，求GA的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）作辅助线，证明

AC

=

EC

即可解决问题．
（2）作辅助线，证明∠CAF=∠ACF，即可解决问题．
（3）根据三角形的边角关系求出DC的长度，进而求出GD的长度即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OC；
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG，而CG∥AE，
∴OC⊥AE，
∴

AC

=

EC

，
即C是劣弧

AE

的中点．
（2）如图，连接AC，延长CD交⊙O于点H．
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴

AC

=

AH

，而

AC

=

EC

，
∴

AH

=

CE

，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF．
（3）∵∠EAB=30°，CF=4，AF=CF，
∴FD=

1

2

AF=2，AD=

3

FD=2

3

，DC=4+2=6；
∵CG∥AE，
∴∠G=∠EAB=30°，
∴tan∠G=

CD

GD

=

3

3

∴GD=

3

CD=6

3

，GA=6

3

-2

3

=4

3

，
即GA的长为4

3

．

点评：该题以圆为载体，以切线的性质、垂径定理、直角三角形的边角关系等几何知识点为考查的核心构造而成；解题的关键是深刻把握题意，合理判断分析、科学推理论证．