Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　）

A.△ADC∽△CFBB.AD＝DF

C.＝D.＝

Answer 1

【答案】C

【解析】

依据∠ADC=∠BCD=90°，∠CAD=∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF=DA；设CE=a，AD=b，则CD=2a，由△ADC∽△CFB，可得 ，可得b=a，依据，即可得出；根据E是CD边的中点，可得CE：AB=1：2，再根据△CEF∽△ABF，即可得到 ．

∵BE⊥AC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠ACD=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=DC，
∴BM=AM，
∴AN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF=DA，故B选项正确；
设CE=a，AD=b，则CD=2a，

∵∠ADC=∠BCD=90°，△ADC∽△CFB
∴∠CBE=∠DCA,

∴∠DAC=∠CEB,

∴△ADC∽△ECB，

由△ADC∽△ECB，可得，
即b=a，
∴，

AC= ,
∴，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE：AB=1：2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，故选D选项正确；
故选：C．