Question

【题目】（问题探究）如图1，，直线，垂足为，交于点，点到直线的距离为2，点到的距离为1，，，则的最小值是______；（提示：将线段沿方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示．）

（关联运用）如图3，在等腰和等腰中，，在直线上，，连接、，则的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

[问题探究]过点A作AH⊥b于H，过点B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延长线于J，连接MK、AB和AK，根据两点之间线段最短可得=AM＋MK≥AK（当且仅当A、M、K共线时，取等号），然后利用勾股定理求出AK即可；

[关联运用]过点F作直线l∥BA，交CA的延长线于点N，取AC的中点G，作C关于直线l的对称点M，连接MF、GF、MN，根据对称性和平行四边形的判定及性质推出CF=MF，GF=CE，根据两点之间线段最短可得=GF＋MF≥MG（当且仅当G、F、M共线时，取等号），然后利用勾股定理求出MG即可．

解：[问题探究]过点A作AH⊥b于H，过点B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延长线于J，连接MK、AB和AK

由图易知，四边形HJBK为矩形，MN=BK=1，MN∥BK，AH=2＋1=3，AJ=2＋1＋1=4

∴四边形MNBK为平行四边形，HK=BJ

∴BN=MK

∴=AM＋MK≥AK（当且仅当A、M、K共线时，取等号）

在Rt△ABJ中，BJ=

∴HK=3

∴AK=

∴≥

即的最小值是；

故答案为：；

[关联运用]过点F作直线l∥BA，交CA的延长线于点N，取AC的中点G，作C关于直线l的对称点M，连接MF、GF、MN

由对称性可得CF=MF，CN=MN，∠CNF=∠MNF

∵在等腰和等腰中，

∴∠FED=∠BAC=45°，EF=DF=2，AC=BC=4

∴EF∥AC，CG=AG=AC=2=EF

∴四边形CEFG为平行四边形

∴GF=CE

∴=GF＋MF≥MG（当且仅当G、F、M共线时，取等号）

∵直线l∥BA

∴四边形EFNA为平行四边形，∠CNF=∠BAC=45°

∴AN=EF=2，∠CNF=∠MNF=45°

∴GN=AG＋AN=4，MN=CN=AC＋AN=6，∠MNC=∠CNF＋∠MNF=90°

根据勾股定理可得MG=

∴≥

即的最小值为．

故答案为：．