【题目】正方形ABCD的边长为2,将射线AB绕点A顺时针旋转α,所得射线与线段BD交于点M,作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.
(1)如图,当0°<α<45°时:
①依题意补全图;
②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系:___________;
(2)当45°<α<90°时,探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明;
(3)当0°<α<90°时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF长的最大值.
【答案】(1)①补图见解析;②∠NCE=2∠BAM;(2)∠NCE+∠BAM=90°,证明见解析;(3)1+
.
【解析】
(1)作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.由△ABM≌△CBM,可得∠BAM=∠BCM,由∠ABC=∠CEA=90°,BC,AE交于一点,可得∠BAM=∠BCE,即可得到∠MCE=2∠BAM,由点N与点M关于直线CE对称,可得CN=CM,即可得到∠NCE=∠MCE,进而得出∠NCE=2∠BAM;
(2)连接CM,判定△ADM≌△CDM,即可得到∠DAM=∠DCM,再根据∠DAQ=∠ECQ,即可得到∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,即,再根据∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,即可得到
;
(3)依据∠CEA=90°,即可得到点E在以AC为直径的圆上,当EF经过圆心O时,即可得出线段EF长的最大值.
(1)①补全的图形如图所示:
②∠NCE=2∠BAM.理由如下:
如图1,连接MC.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABM=∠CBM.
∵BM=BM,∴△ABM≌△CBM,∴∠BAM=∠BCM.
∵∠ABC=∠CEA=90°,BC,AE交于一点,∴∠BAM=∠BCE,∴∠MCE=2∠BAM.
∵点N与点M关于直线CE对称,∴CN=CM,∴∠NCE=∠MCE,∴∠NCE=2∠BAM.
故答案为:∠NCE=2∠BAM.
(2).理由如下:
如图,连接CM.
∵AD=CD,∠ADM=∠CDM,DM=DM,∴△ADM≌△CDM,∴∠DAM=∠DCM.
∵∠ADQ=∠CEQ=90°,∠AQD=∠CQE,∴∠DAQ=∠ECQ,∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,∴.
∵∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,∴.
(3)如图,∵∠CEA=90°,∴点E在以AC为直径的圆上,O为圆心,由题可得:OFCD=1,OE=OC
AC
.
∵OE+OF≥EF,∴当EF经过圆心O时,.
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【题目】南京某特产专卖店的销售某种特产,其进价为每千克40元,若按每千克60元出售,则平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低3元,平均每天的销售量增加30千克,若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元,且销量尽可能大,则每千克特产应定价多少元?
(1)方法1:设每千克特产应降价x元,由题意,得方程为:___.
方法2:设每千克特产降价后定价为x元,由题意,得方程为:___.
(2)请你选择一种方法完成解答.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+m交y轴于点C,与抛物线y=ax2+bx交于点A(4,0)、B(-,-
).
(1)直线l的表达式为:______,抛物线的表达式为:______;
(2)若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点,且2S△APB=S△AOB,求△AOP的面积;
(3)若点Q是二次函数图象上一点,设点Q到直线l的距离为d,到抛物线的对称轴的距离为d1,当|d-d1|=2时,请直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.
(1)求证:△AHF为等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.
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【题目】如图,方格纸中的每个小正方形的边长都为1,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)以点A为旋转中心,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1,画出△AB1C1.
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2,若点C的坐标为(﹣4,﹣1),则点C2的坐标为 .
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【题目】某品牌电脑销售公司有营销员14人,销售部为制定营销人员月销售电脑定额,统计了这14人某月的销售量如下(单位:台):
销售量 | 200 | 170 | 130 | 80 | 50 | 40 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 |
(1)该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是 台,中位数是 台,众数是 台.
(2)销售部经理把每位营销员月销售量定为90台,你认为是否合理?说明理由.
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【题目】中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注.为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为:A:无所谓;B:反对;C:赞成)并将调査结果绘制成图①和图②的统计图(不完整)请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调査中.共调査了______名中学生家长;
(2)将图形①、②补充完整;
(3)根据抽样调查结果.请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度?
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