【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A,交x轴正半轴于点C(3,0),交x轴负半轴于点B(﹣1,0),∠ACB=45°.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点D为线段AC上一点,且AD=2CD,过点D作DE∥y轴,交抛物线一点E,点P为x轴上方抛物线的一点,设点P的横坐标为t,△PDE的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并直接写出t的范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作PF∥DE交直线AC于点F,是否存在点P,使以点P、F、E、D为顶点的平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:把B(﹣1,0),C(3,0),代入函数解析式得:
,
解得:
故抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3
(2)
解:设DE与x轴交于点H,
∵DE∥y轴,AD=2CD,
∴ = = ,
∴DH=CH=1,
∴D(2,1),
∵点E在抛物线上,
∴E(2,3),
∵点P为x轴上方抛物线上的一点,设点P的横坐标为t,
∴﹣1<t<3,
∵△PDE的面积为S,
∴ DE|t﹣2|=S,
∴S=|t﹣2|(﹣1<t<3),
即当﹣1<t<2时,S=2﹣t,
当2<t<3时,S=t﹣2
(3)
解:如图所示:设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴ ,
解得: ,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,
假设抛物线上存在点P,使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形,
设点P坐标为(h,﹣h2+2h+3),
∵PF∥DE,
∴PF=DE,
∴F(h,﹣h+3),
∴﹣h2+2h+3﹣(﹣h+3)=2,
∴h2﹣3h+2=0,
∴h1=1,h2=2,
∴抛物线上存在点P,使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(1,4)或(2,3).
【解析】(1)直接利用点B,C坐标,利用待定系数法求出函数解析即可;(2)由AD=2CD,DE∥y轴,得出D,E两点的坐标,根据三角形的面积公式即可得出S与t之间的函数关系式,根据B,C两点坐标直接写出t的取值范围;(3)假设抛物线上存在点P,使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形,求出直线AC的解析式,设出点P坐标,从而得出点F坐标,整理出关于h的方程,求出P点坐标,使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB= ,求⊙O半径的长.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 若|a|=﹣a,则 a 一 定是负数
B. 单项式 x3y2z 的系数为 1,次数是 6
C. 若 AP=BP,则点 P 是线段 AB 的中点
D. 若∠AOC=∠AOB,则射线 OC 是∠AOB 的平分线
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【题目】某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱,两种饮料每箱进价和售价如下表所示:
饮料 | 果汁饮料 | 碳酸饮料 |
进价(元/箱) | 55 | 36 |
售价(元/箱) | 63 | 42 |
设购进果汁饮料x箱(x为正整数),且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为w元(注:总利润=总售价﹣总进价).
(1)求总利润w关于x的函数关系式;
(2)如果购进两种饮料的总费用不超过2000元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润.
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【题目】火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为a、b 、30的箱子(其中a>b),准备采用如图①、②的两种打包方式,所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为.
(1)图①中打包带的总长=________.
图②中打包带的总长=________.
(2)试判断哪一种打包方式更节省材料,并说明理由.(提醒:先判断再说理,说理过程即为比较 的大小.)
(3)若b=40且a为正整数,在数轴上表示数的两点之间有且只有19个整数点,求a 的值.
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【题目】形如半圆型的量角器直径为4cm,放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合,零刻度线在x轴上),连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q,线段PQ交y轴于点A,则点A的坐标为( )
A.(﹣1, )
B.(0, )
C.( ,0)
D.(1, )
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【题目】国家环保局统一规定,空气质量分为5级.当空气污染指数达0﹣50时为1级,质量为优;51﹣100时为2级,质量为良;101﹣200时为3级,轻度污染;201﹣300时为4级,中度污染;300以上时为5级,重度污染.某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果,并整理绘制成如图两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列各题:
(1)本次调查共抽取了天的空气质量检测结果进行统计;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为°;
(4)如果空气污染达到中度污染或者以上,将不适宜进行户外活动,根据目前的统计,请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动.(2015年共365天)
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【题目】一组数据x1,x2,…,xn的平均数为5,方差为16,其中n是正整数,则另一组数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数和标准差分别是( )
A. 15,144 B. 17,144 C. 17,12 D. 7,16
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