如图.已知直线y=﹣x+3与x轴.y轴分别交于A.B两点.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A.B两点.点P在线段OA上.从点O出发.向点A以1个单位/秒的速度匀速运动,同时.点Q在线段AB上.从点A出发.向点B以个单位/秒的速度匀速运动.连接PQ.设运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式, (2)问:当t为何值时.△APQ为直角三角形, (3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x²+bx+c，

得，解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3；

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；

如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．

综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；

（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）²+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t²．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t²．

解得：t₁=1，t₂=3（舍去）．

将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）²+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．

（4）如图④所示：

设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）．

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴点M的坐标为（1，4）．

∴MB==．

当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t²﹣3t+3=0，

△=3²﹣4×1×3＜0，无解：

当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=．

∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

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