Question

17．如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6，AD=4，动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作EF∥BC，EF交AB于E．交AC于F，以EF为边向下作正方形EFGH．
（1）设AP长为x，利用相似三角形的性质．可用含x的代数式表示正方形的边长为EF=$\frac{3}{2}$x；如图2，当x=$\frac{8}{5}$时，GH恰好落在边BC上，此时EF长为$\frac{12}{5}$；
（2）如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求AP的值）

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$，求出EF=$\frac{3}{2}$x，当GH恰好落在边BC上时，得到AP+PD=AP+EF=AD，列方程x+$\frac{3}{2}$x=4，解得：x=$\frac{8}{5}$，即可得到结论；
（2）设EH交BC于G，则EM=PD=AD-AP=4-x，根据EF•EM=6，于是得到方程$\frac{3}{2}$x•（4-x）=6，即可得到AP=2，当AP=2时，AP＜AD，点P在△ABC的内部，满足题意．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$x，
当GH恰好落在边BC上时，
AP+PD=AP+EF=AD，
∴x+$\frac{3}{2}$x=4，
解得：x=$\frac{8}{5}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$x=$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$x，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$；

（2）设EH交BC于G，则EM=PD=AD-AP=4-x，
∵正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6，
∴EF•EM=6，
∴$\frac{3}{2}$x•（4-x）=6，
解得：x=2，
即AP=2，
当AP=2时，AP＜AD，点P在△ABC的内部，满足题意．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．