Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD相交于O，E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F．记d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$，则关于d的正确的结论是（　　）

• A． d=5
• B． d＜5
• C． d≤5
• D． d≥5

Answer 1

分析 延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解．

解答 解：延长EO交AB于G，连结GF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠OED，
在△DOE与△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBG=∠ODD}\\{OB=OD}\\{∠BOG=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$=FG；
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，
设BG=x，则HG=3-x，
则IF：HG=4：3，
IF=4-$\frac{4}{3}$x，
BF=4+4-$\frac{4}{3}$x=8-$\frac{4}{3}$x，
d=$\sqrt{{x}^{2}+（8-\frac{4}{3}x）^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{9}（x-\frac{96}{25}）^{2}+\frac{576}{25}}$，
∵0≤x≤3，
∴当x=3时，d最小为5，即d≥5．
故选：D．

点评 考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是设BG=x，用x表示出BF．