Question

【题目】抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，其中B(4，0)，C(0，2)，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当P、Q两点重合时，PQ所在直线解析式为 ；②在①的条件下，取线段BC中点M，连接PM，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形，并说明理由？

（3）已知N(0，)，连接BN，K(3，0)，KE∥y轴，交BN于E，x轴上有一动点F，∠EFN＝60°，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x+2；（2）①y=-x；②以点P、O、M、B为顶点的四边形是菱形，理由见解析；（3）1或．

【解析】

（1）把B，C两点的坐标代入，得出方程组求解即可；
（2）①求出BC的解析式为y=-x+2，，因PQ∥BC，可设出PQ的解析式为y=-x+n，P、Q两点重合可理解为PQ与抛物线只有一个公共点，由联立方程组得到的一元二次方程的根的判别式为0列出方程求得结果；②根据题意求出P、M点的坐标，从而得出OP、OM、BM、BP的长度便可得出结论；
（3）易证∠BNO=60°，在y轴上取一点L，构造等边△ENL，再作△ENL的外接圆⊙H，该圆与x轴的交点便是满足条件的F点．根据等边三角形的性质和勾股定理求得OF便可．

解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y=x2+bx+c得，

，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-x+2；

（2）①设BC的解析式为：y=kx+m（k≠0），则

，解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+2，
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为：y=-x+n，

当P、Q两点重合时，即直线PQ与抛物线只有一个公共点，

由方程组，消去y整理得x2-4x+4-2n=0，
∴=16-16+8n=8n=0，∴n=0，
∴PQ的解析式为：y=-x．

故答案为：y=-x；
②如图1，以点P、O、M、B为顶点的四边形是菱形．

理由如下：
∵M是BC的中点，B（4，0），C（0，2），
∴M（2，1），

联立方程组，解得，

∴P（2，-1），
∴OP=PB=OM=BM=，
∴四边形OPBM是菱形；

（3）∵N（0，-），B（4，0），∴ON=，OB=4，
∴NB的解析式为y=，

∴tan∠BNO=，

∴∠BNO=60°，
∵K（3，0），KE∥y轴，∴∠KEB=60°，KB=1，

∴KE=，∴E（3，-），
在y轴上取一点L，使得NL=NE，连接LE，则△ENL为等边三角形，过E作EG⊥y轴于G，作△ENL的外接圆⊙H，与x轴交于点F和F'点，连接FN、F'N、EF、EF'、HA，如图2，

则∠EFN=∠EF'N=∠ECN=60°，点H在EG上，且HG=EG＝1，HA⊥x轴，HA=EK=，HE=HF=HF'=2，
∴AF=AF'=，

∴OF=1，OF'=．

故OF的长为1或．