Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，相交于点O，cm，cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设cm，cm，cm

小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：

（1）画函数的图象

①按下表自变量的值进行取点、画图、测量，得到了与x的几组对应值：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
/cm	1.12		0.5	0.71	1.12	1.58	2.06	2.55	3.04

②在所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数的图象；

（2）画函数的图象

在同一坐标系中，画出函数的图象；

（3）根据画出的函数的图象、函数的图象，解决问题

①函数的最小值是________________；

②函数的图象与函数的图象的交点表示的含义是________________；

③若，AP的长约为________________cm

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）①y1的最小值是0.5；②AP的长为2cm；③x=2.50．

【解析】

（1）①由表格得点（x，y1）即可；

②先由①描点，再用光滑曲线顺次连接各点，即可得出函数图象；利用数形结合，根据当x=0.5时，得出y1值，填入表格即可；

（2）过点F作FM⊥AC于M，由菱形的性质各三角形中位线性质求得FM=1，PM=3-x，所以y2=，再利用描点法画出y2的图象即可；

（3）①利用数形结合，由函数y1的图象求解即可；

②过点F作FM⊥AC于M，

可利用几何背景意义求解；

③因PC=AC-AP=4-x，由PE=PC，则y1=4-x，利用图象求解即可．

解：（1）①如下表：图象如图所示：

x／cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y1／cm	1.12	0.71	0.5	0.71	1.12	1.58	2.06	2.55	3.04

②过点F作FM⊥AC于M，如图，

∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴FM∥BD，

∵F是BC的中点，

∴M是OC的中点，

∴FM=1，OM=1，

∴PM=3-x，

∴PF2=PM2+MF2，

∴y2=，

利用描点法作出图象，如图所示：

（3）如上图；

①由图象可得：函数y1的最小值是0.5；

②答案不唯一，如，如：用几何背景意义可知：函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是：当PE=PF=1.12cm时，由图象可得：AP的长为2cm；

③∵PC=AC-AP=4-x，

∵PE=PC，

∴y1=4-x，

利用图象可得：x=2.50．

故答案为①0.5；②当PE=PF=1.12cm时，AP的长为2cm；③2.50．