Question

【题目】已知：抛物线C1：y=x2 ． 如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2 ， C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D．

（1）求抛物线C2的解析式；
（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
（3）如图（2），将抛物线C2向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C3 ， C3的顶点为G，与y轴交于M．点N是M关于x轴的对称点，点P（﹣ m， m）在直线MG上．问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线C2经过C1的顶点O，

∴设抛物线C2的解析式为y=x2+bx，

∵C2经过A（2，0），

∴4+2b=0，

解得：b=﹣2，

∴求抛物线C2的解析式为y=x2﹣2x；

（2）

解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线C2的顶点坐标D为（1，﹣1），

当x=1时，y=1，

∴点B的坐标为（1，1），

∴根据勾股定理得：OB=AB=OD=AD= ，

∴四边形ODAB是菱形，

又∵OA=BD=2，

∴四边形ODAB是正方形；

（3）

解：∵抛物线C2向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C3，

∴抛物线C3的解析式为y=（x﹣1）2﹣1﹣m，

在y=（x﹣1）2﹣1﹣m中，令x=0，得y=﹣m，

∴M（0，﹣m），

∵点N是M关于x轴的对称点，

∴N（0，m），

∴MN=2m，

当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：

①若MN是平行四边形的一条边，

由MN=PQ=2m和点P（﹣ m， m）得Q（﹣ m， m），

∵点Q在抛物线C3上，

∴ m=（﹣ m﹣1）2﹣1﹣m，

解得：m= 或m=0（舍去），

②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称得Q（ m，﹣ m）

∵点Q在抛物线C3上，

∴﹣ m=（ m﹣1）2﹣1﹣m，解得：m= 或m=0（舍去）

综上所述，当m= 或 时，

在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】（1）设设抛物线C2的解析式为y=x2+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；（2）四边形ODAB的形状为正方形，求出抛物线C2的顶点坐标D为（1，﹣1）和B的坐标为（1，1）进而证明四边形ODAB为菱形，再证明是正方形即可；（3）当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：①若MN是平行四边形的一条边②若MN是平行四边形的一条对角线，在分别讨论求出满足题意的m值即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．