【题目】已知:在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转(旋转角度小于180°),得到△ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E.
(1)如图1,连接BE,若∠DAB+∠ACB=180°,请判断四边形AEBC的形状,并说明理由;
(2)如图2,设BE的延长线与AD交于点F,若AF=FD,求∠BAD的度数;
(3)如图3,连接CD,若∠CAE=∠ACB,求CD的长.
【答案】(1)结论:四边形AEBC是菱形,理由见解析;(2)60°;(3)CD=.
【解析】
(1)结论:四边形AEBC是菱形.
(2)如图2中,连接BD.只要证明△ABD是等边三角形即可.
(3)如图3中,在BA的延长线上 取一点D′,使得AD=AD′,连接CD′,作CH⊥AB于H.证明△D′AC≌△DAC可得CD=CD′,利用勾股定理求出CD′即可.
解:(1)结论:四边形AEBC是菱形.
理由:如图1中,
由旋转的性质可知:∠DAB=∠EAC,
∵∠DAB+∠ACB=180°,
∴∠EAC+∠ACB=180°,
∴AE∥BC,
∵AE=BC,
∴四边形AEBC是平行四边形,
∵AE=AC,
∴四边形AEBC是菱形.
(2)如图2中,连接BD.
∵AE=DE,AF=DF,
∴EF垂直平分线段AD,
∴BA=BD,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°.
(3)如图3中,在BA的延长线上取一点D′,使得AD=AD′,连接CD′,作CH⊥AB于H.
∵∠DAE=∠B,∠CAE=∠ACB
∴D′AC=∠ACB+∠B=∠CAE+∠DAE=∠DAC,
∵AC=AC,
∴△D′AC≌△DAC(SAS)
∴CD=CD′,
易知:CH=4,D′H=9,
由勾股定理得到:CD′==,
∴CD=.
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【题目】某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
求甲、乙两种商品的每件进价;
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
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【题目】甲进行了5次射击训练,平均成绩为9环,且前4次的成绩(单位:环)依次为:8,10,9,10.
(1)求甲第5次的射击成绩与这5次射击成绩的方差;
(2)乙在相同情况下也进行了5次射击训练,平均成绩为9环,方差为0.9环,请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定?
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【题目】已知四边形ABCD为菱形,点E、F、G、H分别为各边中点,判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上,如果在同一圆上,找到圆心,并证明四点共圆;如果不在,说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为2,M是⊙C上任意一点,连接MB,取MB的中点D,连接OD,则线段OD的取值范围是______.
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【题目】有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2,-2,3后放入一个不透明的口袋搅匀,任意摸出一个小球,记下数字a后,放回口袋中搅匀,再任意摸出一个小球,又记下数字b.这样就得到一个点的坐标(a,b).
(1)求这个点(a,b)恰好在函数y=-x的图像上的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程,并求出结果)
(2)如果再往口袋中增加n(n≥1)个标上数字2的小球,按照同样的操作过程,所得到的点(a,b)恰好在函数y=-x的图像上的概率是 (请用含n的代数式直接写出结果).
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【题目】为解决楼房之间的挡光问题,某地区规定:两幢楼房间的距离至少为米,中午时不能挡光. 如图,某旧楼的一楼窗台高1米,要在此楼正南方米处再建一幢新楼. 已知该地区冬天中午时阳光从正南方照射,并且光线与水平线的夹角最小为°,在不违反规定的情况下,请问新建楼房最高_____________米. (结果精确到1米.,)
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED,分別以O、E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分的面积是__.
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