Question

【题目】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；

（2）如果，那么__________；

（3）若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是_____，最小距离是______；

（4）求代数式的最小值，并写出此时可取哪些整数值？

（5）求代数式的最小值．

（6）若表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值为2，x的整数值为： -1，0，1；（5）7；（6）4.

【解析】

（1）根据数轴点坐标意义，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）根据绝对值的意义解方程即可；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可求出最大值和最小值.
（4）求的最小值，即找一点到坐标为-1和1的点距离和最小.由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤1时，有最小值，从而可求得最小值，利用数轴即可找到此时x可取的整数值．

（5）可以用数形结合来解题：为数轴上的一点，表示：点到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，进而分析得出最小值．

（6）可化为，当取最小值时，取最大值，结合（4）可知当3≤x≤5时，式子取最大值.

解：（1）∵，，

∴数轴上表示和的两点之间的距离是3；表示和两点之间的距离是5；

故答案为：3；5.

（2）∵，

∴，

∴解得x=1或-3，

故答案为：1或-3.

（3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，
∴a=7或-1，b=1或b=-5，
当a=7，b=-5时，则A、B两点间的最大距离是12，
当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；

故答案为12；2.

（4）根据题意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到1的距离与到1的距离之和最小,那么x应在1和3之间的线段上．

即当-1≤x≤1时，|x+1|+|x-1|有最小值．
∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，
∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2；
由数轴可知，-1≤x≤1，x的整数值为： -1，0，1．

∴|x+1|+|x-1|的最小值为2，此时可取的整数值为： -1，0，1．

（5）∵表示：点到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，即当x在中间点3时，距离之和最小.

∴当x=3时，代数式有最小值，

最小值==7．

故代数式的最小值是7．

（6）∵=，

∴当取最小值时，取最大值，

∴由题可知，当3≤x≤5时，取最大值，

当3≤x≤5时，

，

=，

=8-2x+6+2x-10

=4，

故当3≤x≤5时，取最大值为4，