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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线轴交于两点,与轴交于点C,点D时抛物线的顶点

1)求抛物线的解析式和直线的解析式;

2)试探究:在抛物线上是否存在点P,使得以点为顶点,为直角边的三角形是直角三角形,若存在,请求出,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);直线AC的方程为;(2)存在,点P的坐标为

【解析】

1)根据抛物线与的交点坐标,设抛物线的解析式为,化简得,与原题的解析式对比,易得,解出a的值,代入所设解析式即可得抛物线解析式;

根据抛物线与轴交于点C,可求得,设直线AC的解析式为,把AC的坐标代入可求出,从而即可求得直线AC的解析式;

(2)分两种情况求解:①过点CAC的垂线交抛物线于另一点P,则直线PC的解析式为,再联立,可求得交点P的坐标为

②过点AAC的垂线交抛物线于点P,则可得所以直线PC的解析式为联立,可求得点P的坐标为

解:(1)设抛物线的解析式为

所以抛物线的解析式为

时,

设直线AC的解析式为

代入,

所以

所以直线AC的方程为

(2)存在;理由如下:

①过点CAC的垂线交抛物线于另一点P

∵直线AC的方程为

∴直线PC的解析式为

解方程组:

解得:

此时点P的坐标为

②过点AAC的垂线交抛物线于点P

直线PC的解析式为

代入得

所以直线PC的解析式为

解方程组:

解得:

所以点P的坐标为

综上所述,符合条件的点P的坐标为

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