Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求h、k的值；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）h=﹣1，k=﹣4（2）△ACD是直角三角形；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；

（2）根据（1）题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，然后再判断△ACD的形状；

（3）易求得B点的坐标，即可得到AB、AC、OA的长；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若两三角形相似，可考虑两种情况：

①∠AOM=∠ABC，此时OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此时△AOM∽△ACB；

根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出AM的长，进而可根据∠BAC的度数求出M点的横、纵坐标，即可得到M点的坐标．

解：（1）∵y=x2的顶点坐标为（0，0），

∴y=（x﹣h）2+k的顶点坐标D（﹣1，﹣4），

∴h=﹣1，k=﹣4 （3分）

（2）由（1）得y=（x+1）2﹣4

当y=0时，

（x+1）2﹣4=0

x1=﹣3，x2=1

∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）

当x=0时，y=（x+1）2﹣4=（0+1）2﹣4=﹣3

∴C点坐标为（0，﹣3）

又∵顶点坐标D（﹣1，﹣4）（1分）

作出抛物线的对称轴x=﹣1交x轴于点E

作DF⊥y轴于点F

在Rt△AED中，AD2=22+42=20

在Rt△AOC中，AC2=32+32=18

在Rt△CFD中，CD2=12+12=2

∵AC2+CD2=AD2

∴△ACD是直角三角形；

（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；

连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，

AC=

①若△AOM∽△ABC，则，

即，AM=

∵MG⊥AB

∴AG2+MG2=AM2

∴

OG=AO﹣AG=3﹣

∵M点在第三象限

∴M（）；

②若△AOM∽△ACB，则，

即，

∴AG=MG=

OG=AO﹣AG=3﹣2=1

∵M点在第三象限

∴M（﹣1，﹣2）．

综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（），（﹣1，﹣2）．