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【题目】如图,MN是以AB为直径的⊙O上的点,且弧AN=弧BNBM平分∠ABDMCBD于点C

1)求证:MC是⊙O的切线.

2)若BC2MC4,求⊙O的直径.

3)在(2)的条件下,求阴影部分的周长.

【答案】1)证明见解析;(2)⊙O的直径为10;(3)阴影部分的周长为10+5+

【解析】

1)连接OM,根据等腰三角形的性质可得∠OMB=∠OBM,由BM平分∠ABD,可得∠OBM=∠DBM,即可证明∠OMB=∠DBM,可得OMBC,根据平行线的性质可得∠OMC90°,即可证明MC是⊙O的切线;(2)利用勾股定理可求出MB的长,由AB是直径可得∠AMB=90°,即可证明△ABM∽△MBC,根据相似三角形的性质即可求出AB的长;(3)根据圆周角定理可得AN=BN,由AB是直径可得∠ANB=90°,可得△ANB是等腰直角三角形,即可求出∠ABN45°,进而可得∠AON=90°,即可求出BN的长和的长,进而可得阴影部分周长.

1)如图1,连接OM

OMOB

∴∠OMB=∠OBM

BM平分∠ABD

∴∠OBM=∠DBM

∴∠OMB=∠DBM

OMBC

MCBD

∴∠MCB90°

∴∠OMC180°﹣∠MCB90°

MCOM

MC是⊙O的切线.

2)在RtMCB中,

MB2

AB为⊙O的直径,

∴∠AMB90°=∠MCB

又∵∠ABM=∠MBC

∴△ABM∽△MBC

,即

AB10

∴⊙O的直径为10.

3)如图2,连接ANON

ANBN

又∵AB为⊙O的直径,

∴∠ANB90°

∴△ANB是等腰直角三角形,

∴∠ABN45°

∴∠AON90°BNAB5

AB+BN+10+5+

∴阴影部分的周长为10+5+

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评委

得分

选手

A

B

C

D

E

92

88

90

94

96

84

86

90

93

91

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