【题目】如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且弧AN=弧BN,BM平分∠ABD,MC⊥BD于点C.
(1)求证:MC是⊙O的切线.
(2)若BC=2,MC=4,求⊙O的直径.
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的周长.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的直径为10;(3)阴影部分的周长为10+5+.
【解析】
(1)连接OM,根据等腰三角形的性质可得∠OMB=∠OBM,由BM平分∠ABD,可得∠OBM=∠DBM,即可证明∠OMB=∠DBM,可得OM∥BC,根据平行线的性质可得∠OMC=90°,即可证明MC是⊙O的切线;(2)利用勾股定理可求出MB的长,由AB是直径可得∠AMB=90°,即可证明△ABM∽△MBC,根据相似三角形的性质即可求出AB的长;(3)根据圆周角定理可得AN=BN,由AB是直径可得∠ANB=90°,可得△ANB是等腰直角三角形,即可求出∠ABN=45°,进而可得∠AON=90°,即可求出BN的长和的长,进而可得阴影部分周长.
(1)如图1,连接OM,
∵OM=OB,
∴∠OMB=∠OBM,
∵BM平分∠ABD,
∴∠OBM=∠DBM,
∴∠OMB=∠DBM,
∴OM∥BC,
∵MC⊥BD,
∴∠MCB=90°,
∴∠OMC=180°﹣∠MCB=90°,
∴MC⊥OM,
∴MC是⊙O的切线.
(2)在Rt△MCB中,
MB===2,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AMB=90°=∠MCB,
又∵∠ABM=∠MBC,
∴△ABM∽△MBC,
∴,即,
∴AB=10,
∴⊙O的直径为10.
(3)如图2,连接AN,ON,
∵,
∴AN=BN,
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ANB=90°,
∴△ANB是等腰直角三角形,
∴∠ABN=45°,
∴∠AON=90°,BN=AB=5,
∴=,
∴AB+BN+=10+5+,
∴阴影部分的周长为10+5+.
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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设点D,E运动的时间是ts(0<t≤15),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF,若四边形AEFD为菱形,则t的值为( )
A.20B.15C.10D.5
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列结论:
①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】某校为了对甲,乙两名同学进行学生会主席的竞选考核、召开了一次竞选答辩及民主测评会.由A,B,C,D,E五位教师评委对竞选答辩进行评分,并选出20名学生代表参加民主投票.竞选答辩的结果如下表所示:
评委 得分 选手 | A | B | C | D | E |
甲 | 92 | 88 | 90 | 94 | 96 |
乙 | 84 | 86 | 90 | 93 | 91 |
民主投票的结果为:甲8票,乙12票.
根据以上信息解答下列问题:
(1)甲,乙两人的竞选答辩得分分别是多少?
(2)如果综合得分=竞选答辩得分+民主投票得分,那么,甲,乙两人谁当选学生会主席?
(3)如果综合得分=竞选答辩得分民主投票得分,那么,当时,甲,乙两人谁当选学生会主席?
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【题目】如图是某市连续5天的天气情况.
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;
(2)根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.
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【题目】如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°,顶部的仰角为37°,已知教学楼和实验楼在同一平面上,观测点距地面的垂直高度AB为15m,求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m).
参考值:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.
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【题目】如图,已知一次函数y1=x+m的图象与x轴y轴分别交于点A、B,与反比例函数y2=(x<0)的图象分别交于点C、D,且C点的坐标为(﹣1,2).
(1)分别求出一次函数及反比例函数的关系式;
(2)求出点D的坐标并直接写出y1>y2的解集.
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