Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x²﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．

（1）求点A，C的坐标；

（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；

（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 解：（1）解一元二次方程x²﹣12x+36=0，解得：x₁=x₂=6，

∴OA=OC=6，

∴A（﹣6，0），C（6，0）；

（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

设BE=x，

∵BC=4，

∴CE=，

∵AE+CE=OA+OC，

∴x+=12，

整理得：x²﹣12x+32=0，

解得：x₁=4（不合题意舍去），x₂=8

∴BE=8，OE=8﹣6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入y=，得k=16．

（3）存在．

如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则，

即

解得：OP=2或OP=6

∴P（0，2）或P（0，6）；

如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，

则，

即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则，

即，

解得：OP=4+2或OP=4﹣2（不合题意舍去），

∴P（0，4+2）；

如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即，解得：OP=﹣4+2或﹣4﹣2，则P点坐标为（0，2﹣4）或（0，4+2）（不合题意舍去）．

∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，2﹣4）．