Question

【题目】大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：

x（天）	1	2	3	…	50
p（件）	118	116	114	…	20

销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ ．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，

代入（1，118），（2，116）得

解得

因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+120

（2）解：当1≤x＜25时，

y=（60+x﹣40）（﹣2x+120）

=﹣2x2+80x+2400，

当25≤x≤50时，

y=（40+ ﹣40）（﹣2x+120）

= ﹣2250

（3）解：当1≤x＜25时，

y=﹣2x2+80x+2400，

=﹣2（x﹣20）2+3200，

∵﹣2＜0，

∴当x=20时，y有最大值y1，且y1=3200；

当25≤x≤50时，

y= ﹣2250；

∵135000＞0，

∴ 随x的增大而减小，

当x=25时， 最大，

于是，x=25时，y= ﹣2250有最大值y2，且y2=5400﹣2250=3150．

∵y1＞y2

∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元

【解析】（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x＜25和25≤x≤50时，求得y与x的函数关系式；（3）利用（2）中的函数解析式分别求得最大值，然后比较两者的大小得出答案即可．