Question

14．在△ABC中（如图1），AB=17，BC=21，AC=10．

（1）求△ABC的面积（某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，如图2，请你按照他们的解题思路完成解解答过程）．
（2）若点P在直线BC上，当△APC为直角三角形时，求CP的长．（利用（1）的方法）
（3）若有一点Q在在直线BC上运动，当△AQC为等腰三角形时，求BQ的长．

Answer 1

分析 （1）作AD垂直于BC，设BD=x，则有CD=21-x，分别利用勾股定理表示出AD²，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而确定出AD的长，求出三角形ABC面积即可；
（2）如图所示，分两种情况考虑：当△ACP₂为直角三角形时；当△ACP₁为直角三角形时，分别求出CP的长即可；
（3）如图所示，分四种情况考虑：当AC=CQ₁=10时；当AQ₂=AC=10时；当AQ₃=CQ₃时；当AC=CQ₄=10时，分别求出BQ的长即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC，

设BD=x，则有CD=21-x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD²=17²-x²，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD²=10²-（21-x）²，
可得289-x²=100-（21-x）²，
整理得：42x=630，
解得：x=15，
∴AD=8，
则S=$\frac{1}{2}$BC•AD=84；   
（2）如图所示：AB=17，BC=21，AC=10．


当P₂与D重合时，此时△APC₂为直角三角形，CP₂=6；
当△AP₁C为直角三角形时，
在Rt△ADP₁中，AP₁²=AD²+DP₁²=64+DP₁²，
在Rt△ACP1中，AP₁²=CP₁²-AC²=（DP₁+6）²-100，
即64+DP₁2=（DP₁+6）²-100，
解得：P₁D=$\frac{32}{3}$，此时CP₁=$\frac{50}{3}$；     
（3）如图所示，

分四种情况考虑：当AC=CQ₁=10时，BQ₁=21-10=11；
当AQ₂=AC=10时，CD=Q₂D=6，此时BQ₂=21-12=9；
当AQ₃=CQ₃时，此时BQ₃=$\frac{38}{3}$；
当AC=CQ₄=10时，BQ₄=21+10=31．

点评 此题属于三角形综合题，涉及的知识有：勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．