Question

6．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²-3x+4；
（2）∵y=-x²-3x+4，
∴对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，
∵A（-4，0），
∴B（1，0），
∵P在对称轴上，
∴PA=PB，
∴|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，即当P、B、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大，
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-4x+4，
令x=-$\frac{3}{2}$可得y=-4×（-$\frac{3}{2}$）+4=10，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（$-\frac{3}{2}，10$）；
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，则有CQ∥AB，即点Q的纵坐标为4，
∵CQ=AB=5，且C（0，4），
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A、B中点坐标为（-$\frac{3}{2}$，0），且C（0，4），
∴Q点横坐标=2×（-$\frac{3}{2}$）-0=-3，Q点纵坐标=0-4=-4，
∴Q（-3，-4），
综合可知存在满足条件的点D，坐标为（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点P的位置是解题的关键，在（3）中分AB为边和AB为对称线两种情况分别求解是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．