Question

【题目】如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y

（1）求出tan∠PBF；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围

（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当∠DEP=90°时，面积为；当∠PDE=90°时，面积为

【解析】

(1)利用矩形的性质以及锐角三角函数关系进而得出,即可得出tan∠PBF的值;

(2)首先根据相似三角形的判定定理得出,然后利用相似三角形的性质进而得出,即可求出y与x的函数关系;

(3)利用当△DEP与△BCD相似时,只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°,分别利用勾股定理和相似三角形的性质计算得出答案即可.

(1)∵四边形ABCD是矩形,

又

即

又

,即

如图,作垂足为H,则

又

设则,

,

又

由勾股定理得：

=

又

当△DEP与△BCD相似时,

只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°

①当∠DEP=90°,

∵∠DPE+∠PDE=90°即

∠PDE=∠CBD

∴BE=DE

设CE=a,则BE=DE=4-a

在Rt△DEC中,勾股定理得

解之

则,

又∵△BCD的面积=4

②当∠EDP=90°,如图2,