Question

已知：关于x的方程x²+kx+k-1=0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，求k的值．

Answer 1

（1）证明：△=k²-4（k-1）
=k²-4k+4
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴方程一定有两个实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=-k，x₁•x₂=k-1，
∵（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
当x₁+x₂=0，则-k=0，解得k=0，
当x₁-x₂=0，则△=0，即（k-2）²=0，解得k=2，
∴k的值为0或2．
分析：（1）先计算出△=k²-4（k-1）=k²-4k+4=（k-2）²，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）由于（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，则x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，当x₁+x₂=0，根据根与系数的关系得到-k=0，解得k=0；当x₁-x₂=0，根据△的意义得到△=（k-2）²=0，解得k=2．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．