Question

【题目】如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），点P是AB上的动点，设点P的横坐标为n，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C，与x轴交于M点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是线段AB上异于A，B的动点，是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这最大值，若不存在，请说明理由；

（3）点P在直线AB上自由移动，当三个点C，P，M中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，请直接写出m的值．

Answer 1

【答案】(1) y=2x2﹣8x+6；(2)见解析;(3) n的值为或．

【解析】分析：（1）把B（4，m）代入y=x+2中求出m得到B（4，6），然后把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+6得到关于a、b的方程组，再解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）设P的坐标为（n，n+2）（＜n＜4），则点C的坐标为（n，2n2-8n+6），用n表示PC得到PC=（n+2）-（2n2-8n+6），然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标为（n，2n2-8n+6），讨论：若M点为PC的中点，则PM=CM，即n+2=-（2n2-8n+6）；若P点为CM的中点，则PM=PC，即2n2-8n+6=2（x+2）；若C点为PM的中点，则PC=CM，即n+2=2（2n2-8n+6），然后分别解方程可确定满足条件的n的值．

详解：

（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=6，则B（4，6），

∵A（ ，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴ 解得 ，

∴所求抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+6；

（2）设P的坐标为（n，n+2）（＜n＜4），则点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∵a=﹣2＜0，

∴当n=时，线段PC取得最大值；

（3）设P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），

若M点为PC的中点，则PM=CM，即n+2=﹣（2n2﹣8n+6），整理得2n2﹣7n+8=0，此方程没有实数解；

若P点为CM的中点，则PM=PC，即2n2﹣8n+6=2（x+2），整理得n2﹣5n+5=0，解得n1= ，n2=；

若C点为PM的中点，则PC=CM，即n+2=2（2n2﹣8n+6），整理得4n2﹣17n+10=0，解得n1= ，n2=；

综上所述，n的值为或．