Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为　　．

Answer 1

3或6

考点： 翻折变换（折叠问题）． 

分析： 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AB==10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．①如图1，当∠DEC=90°时，推出点E在线段AC上，设BD=DE=x，则CD=8﹣x，根据勾股定理即可得到结果；②如图2，当∠EDC=90，于是得到∠BDE=90°，求得∠BDA=∠ADE=45°，于是得到△ABD是等腰直角三角形于是得到结果．

解答： 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，

∴AB==10，

∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，

∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．

当△DEC为直角三角形，

①如图1，当∠DEC=90°时，

∵∠AED+∠DEC=180°，

∴点E在线段AC上，

设BD=DE=x，则CD=8﹣x，

∴CE=AB﹣AE=4，

∴DE²+CE²=CD²，

即x²+4²=（8﹣x）²，

解得：x=3，

②如图2，当∠EDC=90，

∴∠BDE=90°，

∵∠BDA=∠ADE，

∴∠BDA=∠ADE=45°，

∴∠BAD=45°，

∴AB=BD=6．

综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．

故答案为：3或6．