Question

19．已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；
（2）若a=$\frac{1}{3}$，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将a=3k，b=5k，c=k+1代入y=3ax²+2bx+c，可化为y=9kx²+10kx+k+1=（9x²+10x+1）k+1，令9x²+10x+1=0，解得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{9}$，即可求得图象必过（-1，1），（$-\frac{1}{9}$，1），根据对称轴公式求得x=-$\frac{10k}{2×9k}$=$-\frac{5}{9}$．
（2）a=$\frac{1}{3}$，c=2+b，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，以-1≤x≤2为区间，讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，表示出方程的判别式的表达式，利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论；

解答 解：（1）∵a=3k，b=5k，c=k+1，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c可化为y=9kx²+10kx+k+1=（9x²+10x+1）k+1
∴令9x²+10x+1=0，
解得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{9}$
∴图象必过（-1，1），（$-\frac{1}{9}$，1），
∴对称轴为直线x=-$\frac{10k}{2×9k}$=$-\frac{5}{9}$．
（2）∵a=$\frac{1}{3}$，c=2+b，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c可化为y=x²+2bx+2+b
∴对称轴为直线x=-b
当-b＞2时即b＜-2，
x=2时y取到最小值为-3．
∴4+4b+2+b=-3，解得b=$-\frac{9}{5}$（不符合），
当-b＜2时即b＞-2，
x=2时y取到最小值为-3．
∴4+4b+2+b=-3，解得b=3；
当-2＜-b＜2时即-2＜b＜2，$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=\frac{{4（2+b）-4{b^2}}}{4}=-3$
解得：${b_1}=\frac{{1+\sqrt{21}}}{2}（不符合），{b_2}=\frac{{1-\sqrt{21}}}{2}$，
∴b=3或$\frac{{1-\sqrt{21}}}{2}$，
（3）∵a+b+c=1，
∴c-1=-a-b
令y=1，则3ax²+2bx+c=1．
△=4b²-4（3a）（c-1），
∴△=4b²+4（3a）（a+b）=9a²+12ab+4b²+3a²=（3a+2b）²+3a²，
∵a≠0，
∴（3a+2b）²+3a²＞0，
∴△＞0，
∴存在必实数x，使得相应的y的值为1．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根与系数的关系，解答本题的难点在第二问，关键是分类讨论，此题难度较大．