Question

17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离为10cm或5cm．

Answer 1

分析 本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AQ=AC=10cm，②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AQ=BC=5cm．

解答 解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AQ=AC=10cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AQ=BC=5cm，
综上所述，当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离为10cm或5cm．
故答案为10cm或5cm．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．