Question

15．已知α，β为方程3x²-2x-1=0的两个根，不解方程，求下列各式的值：
（1）α³+β³； （2）α²-β²．

Answer 1

分析 （1）先根据一元二次方程根与系数的关系确定出α与β的两根之积与两根之和的值，代入所求的代数式即可得到结果；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系确定出α与β的两根之积与两根之和的值，代入所求的代数式即可得到结果．

解答 解：根据题意得：α+β=$\frac{2}{3}$，αβ=-$\frac{1}{3}$，
（1）α³+β³
=（α+β）[（α+β）²-3αβ]
=$\frac{2}{3}$×[（$\frac{2}{3}$）²-3×（-$\frac{1}{3}$）]
=$\frac{2}{3}$×[$\frac{4}{9}$+1]
=$\frac{26}{27}$．
（2）∵（α-β）²=（α+β）²-4αβ=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{9}$，
∴α-β=±$\frac{4}{3}$，
∴当α-β=-$\frac{4}{3}$，时，α²-β²=（α+β）（α-β）=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{8}{9}$，
当α-β=，$\frac{4}{3}$，时，α²-β²=（α+β）（α-β）=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了代数式的变形能力．