Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．

感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）

探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．

应用：（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围　 　；

（2）若DM：DB＝3：5，则AN与BN的数量关系是　 　．

Answer 1

【答案】探究：见解析;应用：（1）9≤S＜18;（2）AN＝6BN．

【解析】

探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，证明△MFN≌△MEC（ASA）即可解决问题．
应用：（1）求出△MNC面积的最大值以及最小值即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理求出AN，BN即可解决问题．

解：探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，

∴ME＝BE，

∴平行四边形BEMF是正方形，

∴ME＝MF，

∵CM⊥MN，

∴∠CMN＝90°，

∵∠FME＝90°，

∴∠CME＝∠FMN，

∴△MFN≌△MEC（ASA），

∴MN＝MC；

应用：（1）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大值为18，

当DM＝BM时，△CNM的面积最小，最小值为9，

综上所述，9≤S＜18．

（2）如图②中，

由（1）得FM∥AD，EM∥CD，

∴＝＝＝，

∵AN＝BC＝6，

∴AF＝3.6，CE＝3.6，

∵△MFN≌△MEC，

∴FN＝EC＝3.6，

∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2，

∴AN＝6BN，

故答案为AN＝6BN．