Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0 有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围．
（2）若方程的两个根分别为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²+1，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$，
故实数k的取值范围为k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵方程的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²+1，
∴x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴[-（2k+1）]²-2（k²+1）=5，
整理得出：k²+2n-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1，
∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．