Question

4．如图所示，点D为BC延长线上一点，点A，E是直线BC同侧的两点，∠B=90°，CD=AB，DE∥AB，AC⊥CE于C，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．

Answer 1

分析 根据已知条件可以证明△ABC≌△CDE，从而可以得到CA=EC，从而可以证明结论成立．

解答 证明：∵∠B=90°，DE∥AB，
∴∠B+∠D=180°
得∠D=90°，
∵AC⊥CE，∠A+∠BCA=90°，
∴∠ACE=90°，∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
在△ABC和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ECD}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC=CE，
∴点C在线段AE的垂直平分线上．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是证明△ABC≌△CDE．