Question

已知：如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，MN过点O分别与AD相交于点M，与BC相交于点N，且MN=2NC，MN⊥BD．
求证：MN=BN．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：证明题

分析：首先连接MB，然后证明△AMO≌△CNO，进而可得MO=NO，再根据条件MN=2NC可得CN=ON=OM=AM，再证明Rt△ABM≌Rt△OBM可得∠ABM=∠OBM，进而可得∠OBM=∠OBN=∠ABM=90°÷3=30°，然后再证明△BMN为等边三角形，从而可得结论．

解答：证明：连接BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD‖BC，AO=CO，BO=DO，
∴∠MAO=∠NCO
在△AMO和△CNO中，

∠MAO=∠NCO AO=CO ∠AOM=∠CON

，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴MO=NO，
∵MN=2NC，
∴CN=ON=OM=AM，
∵MN⊥BD，
∴∠MOB=90°，
在Rt△ABM和Rt△OBM中，

AM=MO BM=BM

，
∴Rt△ABM≌Rt△OBM（HL），
∴∠ABM=∠OBM，
又∵MN⊥BD，MO=NO，
∴BM=BN，
∴∠OBM=∠OBN=∠ABM=90°÷3=30°，
∴∠NMB=90°-∠OBM=60°=∠NBM，
∴△BMN为等边三角形，
∴BN=MN．

点评：此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，关键是正确证明出∠OBM=∠OBN=∠ABM=30°．