Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，且BE=8cm．
（1）求∠D的度数；
（2）若BC=10cm，求ED的长．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，由∠EBC=∠E=60°可得△BEF是等边三角形，从而得到EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．由AB=AC，AD平分∠BAC可得∠AHC=90°，从而可得∠HDF=30°，根据对顶角相等即可得到∠ADE=∠HDF=30°；
（2）由BC=10可得FC=2，根据等腰三角形的性质（三线合一）可得HC=5，从而可得HF=3．在Rt△DHF中，由∠HDF=30°可得DF=2HF=6，由此即可求出ED的长．

解答：解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，即∠AHC=90°，
∴∠HDF=30°，
∴∠ADE=∠HDF=30°；

（2）∵BC=10，
∴FC=2．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BH=CH=

1

2

BC=5，
∴HF=5-2=3．
在Rt△DHF中，
∵∠HDF=30°，
∴DF=2HF=6，
∴DE=8-6=2．
∴ED的长为2cm．

点评：本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半等知识，由∠EBC=∠E=60°联想到构造等边三角形是解决本题的关键．