Question

【题目】新定义：我们把只有一组对角是直角的四边形叫做准矩形．
（1）图①、图②均为3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．线段AB、BC的端点均在格点上，在图①、图②中各画一个准矩形ABCD，要求：准矩形ABCD的顶点D在格点上，且两个准矩形不全等．

（2）如图③，正方形ABCD的边长为4，准矩形ABMN的顶点M、N分别在正方形ABCD的边上．若准矩形ABMN的一条对角线长为5，直接写出此时该准矩形的面积

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，图②所示．

（2）解：如图③，

在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，

∵∠ANM=90°，

∴∠DAN=∠CNM（同角的余角相等），

∴△ADN∽△NCM，

∴ = ．

①连接AM，

当AM=5时，在直角△ABM中，AB=4，∠ABC=90，AM=5，则由勾股定理得到：BM= = =3，

所以CM=4﹣3=1．

所以 = ，

则DNNC=4．

又DN+NC=4，

∴DN=NC=2，

∴S准矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×2﹣ ×2×1=11；

②连接BN，

当BN=5时，在直角△BCN中，AB=4，∠ABC=90，BN=5，则由勾股定理得到：CN= = =3，

所以DN=4﹣3=1．

所以 = ，

∴CM= ，

∴S准矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×1﹣ ×3× = ；

综上所述，此时该准矩形的面积是11或= ．

【解析】（1）以AC为直径画圆与格点相交的D点都符合题意；（2）对角线长为5，须分类讨论，AM=5或BN=5，利用相似三角形和勾股定理，可求出准矩形的面积.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和相似三角形的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能得出正确答案．