Question

【题目】如图1，菱形纸片，对其进行如下操作：

把翻折，使得点与点重，折痕为；把翻折，使得点与点重合，折痕为 (如图2)，连结．设两条折痕的延长线交于点．

(1)请在图2中将图形补充完整，并求的度数；

(2)四边形是菱形吗？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析，；（2）四边形是菱形，理由见解析

【解析】

（1）由菱形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，由折叠的性质可得AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，由四边形的内角和定理可求解；

（2）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG=DH，即可证四边形DGOH是菱形．

解：（1）如图，延长EG，FH交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠A=45°，

∴AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，

∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH，

∴AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，

∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°，

∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°；

（2）四边形是菱形．理由如下：

∵∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45°，

∴∠GDC=∠ADH=90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，

∴GE∥DH，GD∥HF，

∴四边形DGOH是平行四边形，

∵AE=DE=AD，DF=FC=CD，AD=CD，

∴DE=DF，且∠ADG=∠CDH=45°，∠DEG=∠DFH=90°，

∴△DEG≌△DFH（ASA）

∴DG=DH，

∴四边形DGOH是菱形．