Question

14．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；
（3）若点P为抛物线AB段上一点，求点P到直线AB的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、C关于对称轴对称，根据两点之间线段最短，可得AB，根据勾股定理，可得AB的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得M的坐标；
（3）当AB⊥AP时，点P到直线AB的距离最大．

解答 解：（1）将A、B、C的坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）如图1，连接AB交对称轴于M，连接MC，
由A、C关于对称轴对称，得AM=MC．
由两点间线段最短，得
MB+MC=AM+MB=AB．
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即MB+MC=3$\sqrt{2}$，
设AB的解析式为y=kx+t（k≠0），将A、B坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，即M（-1，2）；

（3）如图2，当AB⊥AP时，点P到直线AB的距离最大．
设AP交y轴于点Q．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠OBP=45°，
∴OA=OQ=3，
易得直线AQ的解析式为：y=-x-3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
此时P（2，-5）．
则PA=$\sqrt{[2-（-3）]^{2}+（-5-0）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
即点P到直线AB的最大距离是5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用两点之间线段最短得出AB=BM+CM是解题关键；利用图形得到“当AB⊥AP时，点P到直线AB的距离最大”是解题的关键．