Question

8．阅读材料，解答问题：
材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以视（x²-1）为一个整体，
然后设x²-1=y，原方程可化为y²-5y+4=0，
解得y₁=1，y₂=4．
当y₁=1时，x²-1=1，即x²=2，∴x=±$\sqrt{2}$；
当y₂=4时，x²-1=4，即x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$，
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
（1）根据上述方法在方程（x²+2x）²-（x²+2x）-2=0中，设x²+2x=y，则原方程可化为y²-y-2=0；
（2）利用上述方法解方程：（x²-x）²-2（x²-x）-15=0．

Answer 1

分析 （1）结合材料，利用x²+2x=y，将原方程进行简化即可；
（2）结合材料，利用x²-x=y，将原方程进行简化，按材料所给方法一步步计算即可得出结论．

解答 解：（1）设x²+2x=y，原方程可化为y²-y-2=0，
故答案为：y²-y-2=0．
（2）设x²-x=y，原方程可化为y²-2y-15=0，
解得y₁=-3，y₂=5．
当y₁=-3时，x²-x=-3，即x²-x+3=0，方程无解；
当y₂=5时，x²-x=5，即x²-x-5=0，∴x=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$，
故原方程的解为x₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是：结合材料将含x的多项式转化为y对原方程进行简化．本题属于基础题，难度不大，唯一的失分点在于解方程时数据稍微不好运算，故再解决此类题型时一定要细心．