Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线L是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）设P点是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C（0，3）代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，即可得到抛物线顶点坐标；
（3）连结BC交l于P，如图，利用轴对称-最短路线问题得到此时△PAC的周长最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，然后计算出自变量为1时的函数值即可得到P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（3）连结BC交l于P，如图，
∵点A与点B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴PC+PA=CB，
∴此时△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），B（3，0）代入得

b=3 3k+b=0

，解得

k=-1 b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-x+3=2，
∴点P的坐标为（1，2）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．