Question

【题目】如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

(1)求证：△PCE≌△EDQ；

(2)延长PC，QD交于点R．

①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；

②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②∠MON＝135°，＝．

【解析】

（1）根据三角形中位线的性质得到DE＝OC，∥OC，CE＝OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE＝∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO＝∠QDO＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC＝ED，CE＝DQ，即可得到结论

（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP＝OR＝RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD＝30°，即可得到结论；

②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，推出∠PEQ＝∠ACR＝90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到∠ARB＝∠PEQ＝90°，根据四边形的内角和得到∠MON＝135°，求得∠APB＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，

∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，

∴四边形ODEC是平行四边形，

∴∠OCE＝∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO＝∠QDO＝90°，

∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，

∵，，

在△PCE与△EDQ中，，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）①如图2，连接RO，

∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，

∴AR＝OR＝RB，

∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，

∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，

∴∠CRD＝30°，

∴∠ARB＝60°，

∴△ARB是等边三角形；

②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，

∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，

∴∠OCR＝∠ODR＝90°，，

∴∠MON＝135°，

此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，

∴，∴．

故答案是：（1）见解析；（2）①见解析，②∠MON＝135°，．