Question

13．如图，点A、B分别在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的两支上，连接AB交x轴于点C，交y轴于点D，则AD与BC的大小关系为（　　）

• A． AD＞BC
• B． AD=BC
• C． AD＜BC
• D． 无法判断

Answer 1

分析 作BN⊥x轴于N，AM⊥y轴于M，AM与BN相交于E，连结MN，如图，设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），则可表示出AE=b-a，EN=-$\frac{k}{a}$，BE=$\frac{k}{b}$-$\frac{k}{a}$，于是可计算出$\frac{EM}{EA}$=$\frac{EN}{EB}$=$\frac{b}{b-a}$，加上∠MEN=∠AEB，则可判断△EMN∽△EAB，所以∠EMN=∠EAB，于是可判断MN∥AB，易得四边形AMND和四边形CMNB都是平行四边形，所以MN=AD=BC．

解答 解：作BN⊥x轴于N，AM⊥y轴于M，AM与BN相交于E，连结MN，如图，设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
则AE=b-a，ME=b，EN=-$\frac{k}{a}$，BE=$\frac{k}{b}$-$\frac{k}{a}$，
∵$\frac{EM}{EA}$=$\frac{b}{b-a}$，$\frac{EN}{EB}$=$\frac{-\frac{k}{a}}{\frac{k}{b}-\frac{k}{a}}$=$\frac{b}{b-a}$，
∴$\frac{EM}{EA}$=$\frac{EN}{EB}$，
而∠MEN=∠AEB，
∴△EMN∽△EAB，
∴∠EMN=∠EAB，
∴MN∥AB，
而AM∥DN，CM∥BN，
∴四边形AMND和四边形CMNB都是平行四边形，
∴MN=AD，MN=BC，
∴AD=BC．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．