Question

【题目】如图，已知ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于E，F．

（1）作∠BCD的角平分线CF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：AE=CF

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，

②分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，

③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求

（2）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，

又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，

∴∠DAE=∠BCF，

在△DAE和△BCF中，

，

∴△DAE≌△BCF（ASA），

∴AE=CF．

【解析】（1）首先以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求；
（2）由ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易得AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF，继而证得△DAE≌△BCF，则可证得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．