Question

17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是$\frac{120}{13}$．

Answer 1

分析 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．

解答 解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=12，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH=$\frac{1}{2}$BC×AD，
∴13×BH=10×12，
解得：BH=$\frac{120}{13}$，
故答案为：$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．