【题目】y=﹣2x+4直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣(x﹣m)(x﹣6)(m>0)经过点A,交x轴于另一点C,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为D,连接BD,AD,CD,动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动,同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
【答案】(1)y=﹣x2+8x﹣12;(2)① ;②t的值为1﹣或
【解析】
(1)先由直线解析式求得点A、B的坐标,将点A坐标代入抛物线解析式可求出m的值,从而得出答案;
(2)①由(1)可求得AD=CD=2,继而得∠DAC=∠DCA,由BD∥AC可得∠DPE=∠PQA,再结合已知∠DPE=∠DAC,可证明四边形PDQC是平行四边形,∴PD=QC
于是得出关于t的方程4﹣2t=3t,解方程即可;
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况进行讨论求解. 当点N在AB上时,先用t表示出PN=2BP=4t=ME,再依次表示出DE=,AE=2﹣2t,再由BD∥OC得,代入即得,解出方程即可(注意取舍);点N在AD上时,先证明点E、N重合,得PQ⊥BD,于是BP=OQ,由此可得关于t的方程,解出即得结果.
解:(1)当x=0时,y=4,
∴点B坐标(0,4)
当y=0时,x=2
∴点A(2,0)
∵抛物线y=﹣(x﹣m)(x﹣6)(m>0)经过点A,
∴0=﹣(2﹣m)(2﹣6)
∴m1=2,m2=0(不合题意舍去)
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+8x﹣12
(2)①∵抛物线解析式为:y=﹣x2+8x﹣12=﹣(x﹣4)2+4,
∴顶点D(4,4)
∵点B坐标(0,4)
∴BD∥OC,BD=4,
∵y=﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A,点C
∴点C(6,0),点A(2,0)
∴AC=4
∵点D(4,4),点C(6,0),点A(2,0)
∴AD=CD=2,
∴∠DAC=∠DCA
∵BD∥AC
∴∠DPE=∠PQA,
且∠DPE=∠DAC
∴∠PQA=∠DAC
∴∠PQA=∠DCA
∴PQ∥DC,且BD∥AC
∴四边形PDQC是平行四边形
∴PD=QC
∴4﹣2t=3t
∴t=
②如图,若点N在AB上时,即0≤t≤1
∵BD∥OC
∴∠DBA=∠OAB,
∵点B坐标(0,4),A(2,0),点D(4,4)
∴AB=AD=2,OA=2,OB=4
∴∠ABD=∠ADB,
∴tan∠OAB==tan∠DBA=
∴PN=2BP=4t,
∴ME=PN=4t,
∵tan∠ADB=tan∠ABD==2
∴MD=2t
∴DE=
∴AE=AD﹣DE=2﹣2t
∵BD∥OC
∴
∴
∴5t2﹣10t+4=0
∴t1=1+(不合题意舍去),t2=1﹣
如图,若点N在AD上,即1<t
∵PN=EM,
∴点E、N重合,此时PQ⊥BD,
∴BP=OQ,
∴2t=6﹣3t,
解得:t=,
综上所述:当PN=EM时,t的值为1﹣或.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列5个结论:①4a+2b+c>0;②abc<0;③b<a﹣c;④3b>2c;⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数);其中正确结论的个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在图①中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
(3)在图②中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,平行四边形ABCD中,M、N分别为AB和CD的中点.
(1)求证:四边形AMCN是平行四边形;
(2)若AC=BC=5,AB=6,求四边形AMCM的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知直角△ABC,∠C=90°,BC=3,AC=4.⊙C的半径长为1,已知点P是△ABC边上一动点(可以与顶点重合)
(1)若点P到⊙C的切线长为,则AP的长度为 ;
(2)若点P到⊙C的切线长为m,求点P的位置有几个?(直接写出结果)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(问题解决)
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
(类比探究)
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com