Question

【题目】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列儿种简单多面体模型，解答下列问题:

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:

多面体	项点数(V)	面数(F)	棱数(F)
四面体
长方体
正八面体
正十二面体

你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.

（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

Answer 1

【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26

【解析】

（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式进行计算；
（3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．

解：（1）根据题意得如下图

多面体	顶点数(V)	面数(F)	棱数(E)
四面体	4	4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12	30

∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2=72条棱，
设总面数为F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．