[题目]如图.一条顶点坐标为的抛物线与y轴交于点C(0.5)．与x轴交于点A和点B(点B在点A右侧).有一宽度为1．长崖足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移.与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q(点P在点Q右侧).交直线AC于点M和点N(点M在点N右侧).交x轴于点E和点F(点E在点F右侧)(1)求抛物线的解析式,(2)当点M和点N都在线段AC上时.连接MF.如果.求点Q的坐标,(3)在矩形平移的过程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，一条顶点坐标为的抛物线与y轴交于点C(0，5)．与x轴交于点A和点B(点B在点A右侧)，有一宽度为1．长崖足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q(点P在点Q右侧)，交直线AC于点M和点N(点M在点N右侧)，交x轴于点E和点F(点E在点F右侧)

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点M和点N都在线段AC上时，连接MF，如果，求点Q的坐标；

(3)在矩形平移的过程中，当以点P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点M的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3），或

【解析】

（1）设抛物线为 y＝a(x＋1)2＋，把点（0，5）代入即可解决问题．

（2）作FD⊥AC于D，设AF＝m，则MF＝m，ME＝AE＝m＋1，列出方程求出m的值即可解决问题．

（3）设F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．①当MN是对角线时，由QN＝PM，列出方程即可解决问题．②点 Q，P在直线 AC异侧时，QN＝MP，解方程即可．

（1）根据题意，抛物线顶点为(1，)，

设抛物线为 y＝a(x＋1)2＋．

抛物线过点 C（0，5），代入得5=a(0＋1)2＋

解得a＝，

抛物线解析式为y＝ (x＋1)2＋＝．

（2）令y=0,即=0，

解得x1=-5,x2=3

∴A（5，0），B（3，0）．

如图，作FD⊥AC于D，

∵OA＝5，OC＝5，

∴∠CAO＝45．

设AF＝m，则MF＝m，ME＝AE＝m＋1．

在△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，

∴(m)2＝(m＋1)2＋12，

解得m1＝2，m2＝（不符合题意，舍去）．

∴AF＝2，

∴点Q的横坐标为3．

又点Q在抛物线 y＝ (x＋1)2＋上，

当x=-3时，y=4

∴Q（3，4），

（3）设直线 AC的解析式 y＝kx＋n，把A（5，0），C（0，5）代入得

解得：

∴直线 AC的解析式 y＝x＋5．

由已知，点 Q，N，F及点 P，M，E横坐标分别相同．

设F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．

在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：

①点Q，P在直线 AC同侧时，QN＝PM．

∴()(t＋5)＝()(t＋6)，

解得：t＝3．

∴M（2，3）．

②点 Q，P在直线 AC异侧时，QN＝MP．

∴()(t＋5)＝(t＋6)( )，

解得 t1＝3＋，t2＝3，

∴M(2＋，3＋)，或(2，3)．

∴符合条件的点M是（2，3），(2＋，3＋)，或(2，3)．

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