Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD∥AB，

（1）如图1，证明：AC＝BD；

（2）如图2，连接CO并延长交⊙O于点E，OP⊥AD，垂足为P，证明：BE＝2OP；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO，点F为DO延长线上一点，若∠AFO+∠ABE＝180°，过点B作BG⊥OD，垂足为G，点N为上一点，AM⊥EN，垂足为M，若GF＝4，OP＝，AM＝2NE，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2．

【解析】

（1）先判断出∠ADC＝∠BAD，进而判断出∠AOC＝∠BOD，即可得出结论；

（2）先判断出OP∥BD，进而得出BD＝2OP，再判断出BE＝BD，即可得出结论；

（3）先判断出△BOG≌△AOQ（AAS），得出BG＝AQ，OG＝OQ＝4﹣x，进而FQ＝OQ﹣OF＝4﹣2x，再判断出△BDG≌△AFQ（AAS），得出DG＝FQ＝4﹣2x，得出OB＝OD＝OG+DG＝8﹣3x，进而求出x的值，利用勾股定理求出AE，再判断出△AMN∽△AEB，进而得出，进而判断出AM＝2MN，得出AM＝ME，即可得出结论．

证明：（1）如图1，连接OC，OD，

∵CD∥AB，

∴∠ADC＝∠BAD，

∵∠AOC＝2∠ADC，∠BOD＝2∠BAD，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴AC＝BD；

（2）如图2，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OP⊥AD，

∴∠APO＝90°＝∠ADB，

∴OP∥BD，

∵OA＝OB＝AB，

∴BD＝2OP，

∵∠AOC＝∠BOE，

∴AC＝BE，

由（1）知，AC＝BD，

∴BE＝BD，

∴BE＝2OP；

（3）如图3，设OF＝x，则OG＝FG﹣OF＝4﹣x，

过点A作AQ⊥DF，交DF的延长线于Q，

∵BG⊥DF，

∴∠BGO＝∠AQO＝90°，

∵∠BOG＝∠AOQ，OA＝OB，

∴△BOG≌△AOQ（AAS），

∴BG＝AQ，OG＝OQ＝4﹣x，

∴FQ＝OQ﹣OF＝4﹣2x，

由（2）知，BE＝BD，

∴∠BOD＝∠BOE，

∵OB＝OD＝OE，

∴∠ODB＝∠OBD＝∠ABE＝∠OEB，

∵∠AFO+∠AFQ＝180°，∠AFO+∠ABE＝180°，

∴∠AFQ＝∠ABE，

∴∠AFQ＝∠ODB，

∵BG＝AQ，

∴△BDG≌△AFQ（AAS），

∴DG＝FQ＝4﹣2x，

∴OB＝OD＝OG+DG＝8﹣3x，

在Rt△BGO中，根据勾股定理得，BG2＝OB2﹣OG2＝(8﹣3x)2﹣(4﹣x)2，

∵OP＝，

∴BD＝BE＝2OP＝2，

在Rt△BGD中，根据勾股定理得，BG2＝BD2﹣DG2＝(2)2﹣(4﹣2x)2，

∴(8﹣3x)2﹣(4﹣x)2＝20﹣(4﹣2x)2，

∴x＝1或x＝（此时，OQ＝OG＝＜OF，而∠ABE是锐角，所以，∠AFO是钝角，所以，OQ＞OF，相互矛盾，舍去），

∴OB＝OD＝5，

∴AB＝10，

由（2）知，BE＝BD＝2，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝4，

连接AN，

四边形ANEB是圆内接四边形，

∴∠ANM＝∠ABE，

∵AM⊥ME，

∴∠AMN＝90°＝∠AEB，

∴△AMN∽△AEB，

∴＝＝，

设AM＝2a，AN＝a，根据勾股定理得，MN＝＝a，

∵AM＝2NE＝2a，

∴NE＝a，

∴ME＝MN+NE＝2a，

∴AM＝AN，

根据勾股定理得，AE2＝2AM2，

∴AM＝＝2．