如图:直线y=kx+3与x轴.y轴分别交于A.B两点.tan∠OAB=$\frac{3}{4}$.点M是x轴上的一个动点．连接BM.作线段BN的垂直平分线l1.过点M作x轴垂线l2 记l1与l2的交点为P．(1)求直线y=kx+3的解析式,(2)改变点M的位置.可得到相应的点P.把这些点用平滑的曲线连接起来.就是点P所在函数的图象．请画出该函数的图象.并求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，点M是x轴上的一个动点．连接BM，作线段BN的垂直平分线l₁，过点M作x轴垂线l₂ 记l₁与l₂的交点为P．
（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）改变点M的位置，可得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来，就是点P所在函数的图象．请画出该函数的图象，并求出点P所在函数的解析式；
（3）求PB的最小值；
（4）点M在运动过程中，是否存在点P，使△PBM为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据正切值，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据待定系数法，可得BM的解析式，根据线段垂直平分线的性质，可得PC的解析式，根据自变量的值，可得函数关系式；
（3）根据勾股定理、完全平方公式，可得答案；
（4）根据等边三角形的性质，可得B、E点的纵坐标相等，根据解方程，可得x值，根据P点的坐标，可得答案．

解答解：（1）∵直线y=kx+3与y轴分别交于B点，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直线y=kx+3过A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）设M点坐标为（a，0），
BM中点C的坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}{2}$）
BM的解析式为y=-$\frac{3}{a}$x+3，
设PC的函数解析式为y=$\frac{a}{3}$x+b，
将C点坐标代入，得
b=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
PC的函数解析式为y=$\frac{a}{3}$x+$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
当x=a设，y=$\frac{1}{6}$a²+$\frac{3}{2}$，
P点的函数解析式为y=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$；
（3）PB_最小=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{3}{2}-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$；
（4）存在点P，使△PBM为等边三角形，理由如下：
BE⊥MP，BE∥x轴，
$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$=6．
解得x₁=3$\sqrt{3}$，x₂=-3$\sqrt{3}$，
P₁（3$\sqrt{3}$，6），P₂（-3$\sqrt{3}$，6）．

点评本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，线段垂直平分线的关系，等边三角形的性质，利用线段垂直平分线得出PC的解析式是解（2）的关键，利用等边三角形的性质是解（3）的关键．

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