Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）与x轴有两个交点，其中有一点的坐标为A（1，0），点P（m，t）（m≠0）为抛物线上的一个动点．

（1）设y′=m+t，写出y′关于m的函数解析式，并求出该函数图象的对称轴（用含c的代数式表示）；

（2）在（1）的条件下，当m≤3时，与其对应的函数y′的最小值为﹣，求抛物线y=x2+bx+c的解析式；

（3）在（2）的条件下，P点关于原点的对称点为P′，且P′落在第一象限内，当P′A2取得最小值时，求m与t的值．

Answer 1

【答案】（1）y′=m2﹣cm+c m=c（2）y=x2+2x﹣3（3）t=﹣m=

【解析】【试题分析】（1）根据点P（m，t）（m≠0）为抛物线上的一个动点得：

t=m2+bm+c，则y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+（b+1）m+c，

将A（1，0）代入y=x2+bx+c，得1+b+c=0，b+1=﹣c，

y′=m2﹣cm+c．根据二次函数的对称轴表达式为：该函数图象的对称轴为m=c；

（2）由（1）知，y′=m2﹣cm+c，对称轴为m=c；

当c≤3时，即：c≤6，此时，m=c时，抛物线y′=m2﹣cm+c取最小值，

即： c2﹣c×c+c=﹣，

解得：c=﹣3或c=7（舍去），

当c=﹣3时，b=﹣c﹣1=2．

即y=x2+2x﹣3；

（3）当y=x2+2x﹣3时，

∵P关于原点的对称点为P'，有P'（﹣m，﹣t）．

由P'（﹣m，﹣t）在第一象限，

∴﹣m＞0，﹣t＞0．即m＜0，t＜0．

由抛物线y=x2+2x﹣3的顶点为（﹣1，﹣4）

∴﹣4≤t＜0．

由A点坐标为（1，0），

利用两点间的距离公式得：P'A2=（﹣m﹣1）2+t2=（m+1）2+t2，

∵t=m2+2m﹣3=（m+1）2﹣4，

变形：（m+1）2=t+4，

∴P'A2=t2+t+4=（t+）2+

∴当t=﹣时，P'A2取得最小值．

把t=﹣代入t=m2+2m﹣3，得﹣=m2+2m﹣3

解得m=或m=（舍）

故：当t=﹣时，m=.

【试题解析】

（1）∵t=m2+bm+c．

∴y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+（b+1）m+c，

将A（1，0）代入y=x2+bx+c，得1+b+c=0，b+1=﹣c，

∴y′=m2﹣cm+c．

∴该函数图象的对称轴为m=c；

（2）由（1）知，y′=m2﹣cm+c，对称轴为m=c；

当c＞3时，即：c＞6，此时，m=3时，抛物线y′=m2﹣cm+c取最小值，

∵点P（m，t），

∴点P的横坐标是3，

即：点P是定点，不是动点，不符合题意，

当c≤3时，即：c≤6，此时，m=c时，抛物线y′=m2﹣cm+c取最小值，

即： c2﹣c×c+c=﹣，

∴c=﹣3或c=7（舍去），

当c=﹣3时，b=﹣c﹣1=2．

∴y=x2+2x﹣3；

（3）当y=x2+2x﹣3时，

∵P关于原点的对称点为P'，有P'（﹣m，﹣t）．

由P'（﹣m，﹣t）在第一象限，

∴﹣m＞0，﹣t＞0．即m＜0，t＜0．

由抛物线y=x2+2x﹣3的顶点为（﹣1，﹣4）

∴﹣4≤t＜0．

由A点坐标为（1，0），

∴P'A2=（﹣m﹣1）2+t2=（m+1）2+t2，

∵t=m2+2m﹣3=（m+1）2﹣4，

∴（m+1）2=t+4，

∴P'A2=t2+t+4=（t+）2+

∴当t=﹣时，P'A2取得最小值．

把t=﹣代入t=m2+2m﹣3，得﹣=m2+2m﹣3

解得m=或m=（舍）

∴当t=﹣时，m=