Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式．
（2）直线y=kx+3k经过点B，与y轴的负半轴交于点D，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PD，射线PD绕点P顺时针旋转与线段BD交于点E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分线交线段BD于点H，∠BEP+∠BDP=90°
①若四边形PHDC是平行四边形，求点P的坐标；
②过点E作EF⊥PD，交PD于点G，交y轴于点F，已知PF=3 ，求直线PF的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0）代入y=﹣x2+bx+3中，

﹣1+b+3=0，解得：b=﹣2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：如图1，当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，

x2+2x﹣3=0，

（x+3）（x﹣1）=0，

x1=﹣3，x2=1，

∴B（﹣3，0），

∵四边形PHDC是平行四边形，

∴PH∥DC，

∴∠EHP=∠EDC，∠HPD=∠PDC，

设∠PDC=x，∠BDP=y，则∠EPH=∠HPD=x，∠EHP=∠EDC=x+y，

∴∠BEP=∠BHP+∠EPH=x+y+x=2x+y，

∵∠BEP+∠BDP=90°，

∴2x+y+y=90°，

x+y=45°，

即∠BHP=45°，

∴∠BDC=45°，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴OB=OD=3=﹣3k，

k=﹣1，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣3，

∵PH⊥x轴，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），H（x，﹣x﹣3），

∴PH=CD=6，

∴﹣x2﹣2x+3+x+3=6，

解得：x1=0（舍），x2=﹣1，

∴P（﹣1，4）；

②如图2，过D作DQ⊥y轴交PE的延长线于Q，直线PH交DQ于M，PN⊥y轴于N，

∵∠PDC= ∠EPD=∠DPH，

∴PM∥DN，

∵DQ⊥DN，

而PM平分∠QPD，

∴MQ=MD，

易得四边形PNDM为矩形，

∴MD=PN，

∴DQ=2PN，

∵EF⊥PD，

∴∠BDP+∠DEG=90°，

而∠BDP+∠BEP=90°，

∴∠DEG=∠BEP=∠QED，

∵∠BDF=45°，

∴∠QDE=45°，

在△DEQ和△DEF中，

，

∴△DEQ≌△DEF（ASA），

∴DQ=DF，

∴DF=2MD=2PN，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），则PN=DM=﹣x，DF=﹣2x，FN=﹣x2﹣2x+3+3+2x=﹣x2+6，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF2=PN2+FN2，

∴ =（﹣x）2+（﹣x2+6）2，

解得：x1= ，x2=±3，

∵点P为第二象限内抛物线上一点，

∴x=﹣ ，

∴DF=2 ，

∴P（﹣ ，2 ﹣3），F（0，2 ﹣3），

设PF解析式为：y=kx+b，

把P（﹣ ，2 ﹣3），F（0，2 ﹣3）代入得：

，

∴ ，

∴直线PF的解析式为：y=﹣2 x+2 ﹣3．

【解析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得结论；（2）①如图1，推出∠BHP=45°，求出直线BD解析式：y=﹣x﹣3，求出P点坐标等于（﹣1，4）；②如图2，作辅助线，构建矩形和等腰三角形，判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，则DQ=2PN，然后证明△DEQ≌△DEF得到DQ=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用勾股定理列方程得出P和F的坐标，根据待定系数法求直线PF的解析式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)，还要掌握等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)的相关知识才是答题的关键．